Sub bab 2
Kemonotonan dan kecekungan
Definisi :
Andaikan f terdefinisi
pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa:
I. F adalah naik pada I jika untuk
setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
X1 <>2 = f(x1) <>2)
II. F adalah turunan pada I jika setiap
pasang bilangan x1 dan x2dalam I,
X1 <>2 = f(x1) > f(x2)
III. F monoton murni pada I jika ia naik
pada I atauturun pada I.
TURUNAN PERTAMA DAN KEMONOTONAN
Jika kita ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kemiringan
dari garis singgung pada grafik f di titik x. kemudian jika f’(x) > 0, garis
singgung naik ke kanan ( lihat gambar 2), serupa , jika f’(x) <>
TEOREMA A
(teorema kemonotonan). Andaikan f continue
pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I,
I. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik
dalam x dari I , maka f naik pada I.
II. Jika f’(x)<0>
TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN
Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai
grafik yang sangat bergoyang ( gambar 4 ). Jika garis singgung berliku dengan
tetap berlawanan arah jarum jam , kita katakana bahwa grafik cekung ke atas ,
jika garis berliku searah jarum jam, maka grafik cekung ke bawah. Kedua
definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunannya.
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada selang terbuka I =
(a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’
turun pada I, f cekung ke bawah pada I
Diagram dalam gambar 5
berikut akan membantu dalam memperjelas gagasan ini.
TEOREMA B
(teorema kecekungan ), andaikan f
terdefinisial dua kali pada selang terbuka (a,b).
I. Jika f” (x) > 0 untuk semua x
dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
II. Jika f” (x) <>
TITIK BALIK
Untuk mencari titik balik kita dapat
memisalkan f continue di c. kita sebut (c, f(x) )suatu titik balik dari grafik
f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya
dari c. grafik dalam gambar 6 berikut menunjukan sejumlah kemungkinan.
Contoh soal :
Jika f(x) = 3x3 – 9x2 –
27x+ 1, cari dimana f naik dan dimana turun .
Penyelesaiannya :
Kita mulai dengan mencari turunan f. f’(x) =
9x2 – 18x – 27 = 9(x+1)(x-3)
Kita perlu menentukan
dimana (x+1)(x-3) > 0 dan juga dimana (x+1)(x-3)<0,
Sub bab 3
Maksimum dan minimum lokal
Jika ada suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang di
capai pada keseluruhan himpunan S, kadang itu semua di acu sebagai nilai
maksimum global , jadi untuk fungsi f dengan daerah asal S =
(a,b) adalah nilai maksimum global, sedangkan f(c ) kita sebut sebagai
suatu nilai maksimum lokal terlihat seperti gambar 1
Dan tentu saja nilai maksimum global otomatis
juga nilai maksimum lokal, terlihat pada gambar 2.
Berikut definisi formal dari maksimum lokal
dan minimum lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c.
kita katakan bahwa ;
I. F(c ) nilai maksimum lokal f jika
terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c ) adalah nilai
maksimum f pada (a,b) Π S;
II. F(c ) nilai minimum lokal f jika terdapat
selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada
(a, b) Π S;
III. F(c ) nilai ekstrim lokal f jika ia
berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Lalu dimana nilai-nilai ekstrim terjadi kita
dapat melihat gambar 3.
TEOREMA A
(uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)
.Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
I. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x
dalam (a,b) dan f’( x) <>
II. Jika f’ (x) <>
III. Jika f’ (x) bertanda sama pada kedua
pihak c, maka f(c ) bukan nilai ekstrim lokal f.
Terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum
lokal yang kadang-kadang lebih mudah diterapkan.
TEOREMA B
(uji turunan kedua untuk Ekstrim lokal ).
Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat
c, dan andaikan f’(c ) = 0.
I. Jika f” (c ) <>
II. Jika f” (c ) > 0. F(c ) adalah
nilai minimum lokal f.
Contoh soal :
Carilah nilai ekstrim local dari fungsi f(x) =
x2 – 10x + 9 pada ( - ∞ ,∞ )
Penyelesaiannya :
F’(x) = 2x – 10 , ada untuk semua x, jadi
satu-satunya titik kritis untuk f adadlah penyelesaiannya
tunggal dari
f(x) = 0 yakni x = 5. Kerena f’(x) = 2(x-5) <> 0 untuk x>
5, f naik pada [5,∞ ), lalu f(5)
sebagai satu-atunya titik tidak kritis maka
f(5) = -16
Sub bab 4
Lebih banyak masalah maks-min
Untuk menyelesaikan setiap masalah maks-min di
sarankan melakukan cara dengan sebuah metode , jangan asal dalam
menyelesaikannya sehingga melupakan setiap langkah-langkah pengerjaannya,
adapun metode tersebut :
Langkah 1 buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan
variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.
Langkah 2 tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (
diminimumkan ) dalam bentuk variable-variabel tersebut.
Langkah 3 gunakan kondisi-kondisi masalah untukmenghilangkan semua
kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai
fungsi dari satu variable, misalnya x.
Langkah 4 tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya
sebuah selang.
Langkah 5 tentukan titik-titik kritis( titik ujung, titik stasioner,
titik singular ). Paling sering, titik-titik kritis kuknci beruap titik-titik
stasioner di mana dQ/dx = 0
Langkah 6 gunakan teori untuk memutuskan mana yang maksimum atau
minimum
Contoh soal ;
Ada sebuah surat undangan memuat 100 cm
persegi bahan cetak, jalur bebas cetak di atas dan di bawah 8 cm serta di
samping kanan dan kirinya 6 cm, lalu berapa ukuran surat undangan tersebut yang
memerlukan kertas sesedikit mungkin
Penyelesaiannya ;
Andaikan surat undangan tersebut mempunyai
lebar x dan tinggi y luasnya adalah
A =xy.
Kita akan mencari persamaan yang mengaitkan x
dan y sehinga salah satu dari variable ini dapat dihilangkan dari ungkapan A,
ukuran bahan adalah x-12dan y-16 dan luasnya adalah 100 cm persegi, sehingga
(x-12)(y-16) = 100, lalu kita peroleh
Y = (100/(x-16)) + 12 dengan penggantian
ungkapan ini untuk dalam A=xy memberikan
A = (100x/(x-16)) + 12x
Nilai-nilai x yang dibolehkan adalah 16
<>
Sekarang
dA/dx =[ ((x-16)100 – 100x )/ (x-16)2 ]+12
= (12x2 – 384x + 1472 ) / ( x-16)2
titik-titik kritis hanya diperoleh dengan
menyelesaikan dA/dx = 0; ini menghasilkan x = 29,1 dan x = 2,81, lalu kita
tolak x = 2,81 karena tidak masuk dalam selang (16,∞ ). Karena dA/dx <> 0
untuk x dalam 29,1 , ∞) kita simpulkan bahwa A mencapai nilai minimumnya pada x
= 29,1 nilai ini membuat y = 19,6 sehingga ukuran surat undangannya yang akan
memakai kertas paling sedikit adalah 29,1 cm kali 19,6 cm.
Sub bab 5
Penerapan ekonomik
Dalam mempelajari lebih banyak masalah ekonomi
sebenarnya kita mengunakan konsep kalkulus, misalkan dalam sutu perusahan,
PT Tirta, jika PT tirta menjual x satuan barang tahun ini, PT tersebut
akan mampu membebankan harga , P(x) untuk setiap satuan, kita tunjukan bahwa p
tergantung pada x, pendapatan total yang diharapkan PT tersebut diberikan oleh
R(x) = xp(x) ; banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, PT
Tirta akan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap
ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba
P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) + xp(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha
memksimumkan total labanya.
Pada dasarnya suatu produk akan berupa
satuan-satuan diskrit, jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya di definisikan
hanya untuk x = 0,1,2,…. Dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari
titik-titik diskrit, agar kita dapat mempergunakan kalkulus, lalu titik-titik
tersebut kita hubungkan sehingga membentuk suatu kurva, dengan demikian R, C, P
dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaan kata marjinal
Andaikan PT Tirta mengetahui fungsi biaya C(x)
dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Tirta ingin
menetapkan biaya tambahan tiap tahun.
Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar 1
, direktur akan menanyakan nilai ∆ C / ∆ X pada saat ∆ X = 1, tetapi kita
mengharapkan bhawa ini akan sangat dekat terhadap nilai
Lim∆x→0 ∆C /∆x
Pada saat x = 2000, ini disebut biaya
marginal, kita mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x, dengan
demikian kita definisikan harga marginal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx,
dan keuntungan marginal sebagai dP/dx
Contoh soal :
Andaikan C(x) = 7200 + 2x + 40 x2 rupiah,
cari rata-rata tiap satuan dan biaya marginal dan hitung mereka bilamana x =
5000.
Penyelesaian.
BIaya rata-rata : C(x) / x = 7200 + 2x +
40x2 / x
Biaya marjinal : dC / dx = 2 + 80x
Jadi Pada x = 5000, rata-rata biaya tiap
satuan adalah Rp. 200003,44 danrata-rata biaya marjinal adalah Rp. 400002
Sub bab 6
Limit di ketakhinggaan, limit tak terhingga
Definisi-definisi cermat limit bila x → ±
∞. Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita
membuat definisi berikut.
Definisi
(limit bila x → ∞ ). Andaoikan f
terdefinisikan pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim x→∞ f(x) =
L jika untuk masing-masing Є> 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga.
X > M → |f (x) – L |< Є
Anda akan memperhatikan bahwa M dapat
tergantung pada Є , umumnya, semakin kecil Є, maka M harus semakin besar.
Grafik pada gambar 1 akan membantu memahaminya.
Definisi
( limit bila x → - ∞ ). Andaikan f terdefinisi
pada ( - ∞, c ] untuk suatu bilangan c kita dapat katakan bahwa lim x→-
∞ f(x) = L jika untuk masing-masing Є > 0, terdapat suatu
bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga.
X <>
Definisi
( limit-limit tak-terhingga ). Kita katakan
bahwa lim x→c+ f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
positif M , berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga
0 <> M
Hubungan terhadap asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertical dari
grafik y = f(x) misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak, sama halnya
garis-garis x=2 dan x=3 adalah asimtot vertical, dalam nafas yang serupa, garis
y=b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika
lim x→∞ f(x) =
b atau lim x→- ∞ f(x) = b
Garis y = 0 adalah asimtot.
contoh soal :
cari limit x→ ∞ ( 4x2 –
6x + 8 ) / ( 7 + x – 2x2 )
= limit x→ ∞ (4x2/x2 –
6x/x2 + 8/x2 ) / ( 7/x2 +
x/x2 – 2x2/ x2 )
= limit x→ ∞ ( 4 – 6/x +
8/x2 ) / ( 7/x2 + 1/x – 2)
= (4-0+0) / (0+0-2) = -2
Sub bab 7
Penggambaran grafik canggih
Kalkulus dapat menganalisis struktur grafik
secara baik, dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum
local dan titik-titik balik, kita dapat menentukan secara persis dimana grafik
naik atau dimana sekung ke atas,
POLINOM : polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk
diganbar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil, jika derajatnya cukup
ukurannya, misalnya 3 sampai 6 kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus
dengan manfaat besar.
FUGSI RASIONAL: fungsi rasional merupakan
hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk di grafikkan di banding
polinom, khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut
nol.
Dalam menggambar grafik canggih , tidak
terdapat pengganti untuk akal sehat, tetapi , dalam banyak hal prosedur berikut
sangat membantu.
Langkah 1. Buat analisa pendahuluan sebagai berikut;
1. Periksa daerah asal dan daerah hasil
fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang di kecualikan
2. Uji kesimetrisannya terhadap sumbu y
dan titik asal. ( apakah fungsi genap atau ganjil )
3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu
kordinat.
4. Gunakan turunan pertama untuk mencari
titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun
5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum
dan minimum lokal
6. Gunakan turunan kedua untuk
mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk
melokasikan ttik-titik balik.
7. Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik ( termsuk semua titik
kritis dan titik balik )
Langkah 3 Sketsa grafik
Contoh soal:
Sketsakan fungi g(x) = 6x/(x2+4)
Penyelesaiannya:
Dengan menetapkan f(x) = 0 ,kita temukan
perpotongan sumbu x adalan 0 dan 0 , lalu karena ni merupakan fungsi ganjil
maka kita dapat menyatakan bahwa grafik tersebut simetris terhadap titik asal,
Dan jika kita diferensialkan maka kita peroleh
F’(x) = 6/(x2+4)
| 
